Falsa dicotomia, probabilidades e indução

«Quantas vezes já disse que quando eliminas o impossível,
seja o que restar, por mais improvável que seja, deve ser verdadeiro?»
- in "As Aventuras de Sherlock Holmes - O Sinals dos Quatro" cap. 6

No artigo anterior disse que o que Mats apresentou era um exemplo de dicotomia, no entanto parece que referia-se a essa falsa dicotomia: 1) ou todos os bilhetes são premiados, 2) ou nenhum bilhetes é premiado. É uma falsa dicotomia, porque para além desses dois casos, poderia haver apenas um ou mais bilhetes premiados entre outros que não são premiados.
Isso seria uma analogia para a falsa dicotomia: 1) ou todos os deuses são verdadeiros, 2) ou todos os deuses são falsos. Não equivale a dizer que a impossibilidade de provar a inexistência de algo em específico não significa que esse algo existe. Nem equivale a dizer que não se acredita em algo porque usa-se o mesmo critério que nos leva a não acreditar noutras coisas. Aparentemente não intencionalmente, Mats cometeu um argumento homem-palha, com uma interpretação de uma fracção de um texto que não era intenção do seu autor. [1]

Existe uma dicotomia quando, para um problema, considera-se apenas como opções dois casos exclusivos. Por exemplo:

1. 1) ou é verdadeiro, 2) ou é falso
   
2. 1) ou o bilhete é premiado, 2) ou não é premiado
   
3. 1) ou existe algum deus, 2) ou nenhum deus existe

É uma falsa dicotomia se na realidade existirem mais do que duas opções para além das indicadas. Ou seja, quando é dito que há uma dicotomia quando não existe. O terceiro exemplo indicado acima não é uma falsa dicotomia, já que a negação lógica de "nenhum x existe" é "existe algum x" - basta mostrar pelo menos um exemplo que contradiga uma proposição universal ("todos x" ou "nenhum x") para refutá-la. [2]
"1) ou todos os deuses são verdadeiros, 2) ou todos os deuses são falsos" - que não é o mesmo - é uma falsa dicotomia porque existem mais opções: existir só um deus, ou um par de deuses, etc.

Probabilidades
Se atirar uma moeda ao ar, sai caras ou coroa. A probabilidade de sair caras é 1/2. Agora vamos supor que sabem que num papel está escrito "Iavé existe" ou "Iavé não existe", mas não sabem qual das frases está escrita. A probabilidade de estar escrito "Iavé existe" é 1/2. Obviamente, depois de ver o que está escrito, a probabilidade será 1 - se tiver escrito "Iavé existe" - ou zero - se tiver escrito "Iavé não existe".

Agora vamos supor que escrevo qualquer coisa num papel - qual é a probabilidade de estar escrito "Iavé existe"? É verdade que 1) ou escrevi "Iavé existe" 2) ou não escrevi "Iavé não existe". Portanto o número de casos favoráveis é igual a 1 e o número de casos possíveis é igual a 2, por isso a probabilidade de ter escrito "Iavé existe" é igual a 1/2, não é? Qual é a probabilidade de ter escrito "Iavé não existe"? 1/2? E qual é a probabilidade de ter escrito "O Monstro do Esparguete Voador existe"? E de ter escrito "O Bule Celestial existe"? Se deu sempre como resposta 1/2, some tudo e o resultado será superior a 1, apesar de a soma de todo o universo de resultados dever ser igual a 1.

É verdade que só posso ter escrito "Iavé existe" ou não ter escrito "Iavé existe". Mas também é verdade que ou escrevi "Iavé existe", ou escrevi "Iavé não existe", ou escrevi "O Monstro do Esparguete Voador existe", ou escrevi "O Bule Celestial existe", ou escrevi "Sou o Pedro", ou escrevi "Olá Mundo", ou escrevi qualquer outra coisa. Se os casos possíveis são infinitos, então a probabilidade de ter escrito "Iavé existe" é igual a zero no limite (ao dividir um por números cada vez maiores, os resultados tendem para zero). Essa é a mesma probabilidade de seleccionar aleatoriamente um número entre os números reais e esse número ser, por exemplo, o π. [3]

Vamos aplicar o mesmo processo ao exemplo dos bilhetes de lotaria: qual é a probabilidade de sair um bilhete premiado. Ou o bilhete é premiado ou não é premiado. Dizer que a probabilidade é 1/2 equivale a dizer que a probabilidade dos apostadores ganharem um prémio é 1/2. Se assim é, então cerca de metade dos que jogam na lotaria tem o seu bilhete premiado.

Indução
Agora apresento um exemplo clássico em Filosofia. Acredita que todos os corvos são negros? Porquê? Não se fundamenta na falsa dicotomia 1) ou todos os corvos são negros 2) ou nenhum corvo é negro?

Houve uma altura em que tinham sido já vistos imensos de cisnes e todos eram brancos. Seria razoável acreditar que existem cisnes negros? Na Austrália foram descobertos cisnes negros, contrariando a ideia de que todos os cisnes são brancos. Então, acreditam que todos os corvos são negros? Existe a mesma razão para acreditar que sim: existe um enorme número de casos particulares para se poder generalizar com um grande grau de segurança (indução). É claro que isso não significa que é logicamente impossível encontrar um contra-exemplo, tal como no caso dos cisnes, mas nestes casos o razoável é assumir uma lei geral com base nas estatísticas, especialmente se isso depender de decisões a serem tomadas. Existe a noção de que basta um corvo branco para refutar a ideia de que todos os corvos são negros. A questão é que nunca foram encontrados corvos brancos, mas foram sempre encontrados corvos negros. [4]

• [1]
• Mats: «Usando esta “lógica” (a mesma que o Dawkins usa) eu posso dizer que todos os bilhetes da lotaria são falsos, porque existem alguns que são falsos.»
• Dawkins, in "The Root of All Evil": «Não podem refutar a existência do bule» (...) «Ninguém, a não ser um louco, diz: "estou preparado para acreditar porque não consigo refutá-lo"» (...) «Existe um número de infinito de coisas como o bule celestial que não podemos refutar. Existem fadas, existem unicórnios, goblins... não podemos refutar qualquer uma dessas coisas. Mas não acreditamos nelas, tal como não acreditamos em Tor, Amon-Rá ou Afrodite. Somos todos ateus relativamente a quase todos os deuses que a humanidade já acreditou. Alguns de nós apenas vão para além de um deus.»
• [2]
• Dicionário Escolar de Filosofia > quantificador
  
• Wikipedia > Quantificador universal > Negação
• Wikipedia > Universal quantification > Negation
  
• WikiBook > Lógica: Cálculo Quantificacional Clássico: Dedução Natural no CQC
• Meu Mundo > Raciocínio Lógico > Lógica das Proposições > Implicação e Equivalência Lógicas
  
• Head Like a Hole > Lógica > Logic Parser
• [3]
• Universidade Federal de Viçosa > Probabilidade - Distribuição Binominal
• Fallacy Files > Logical Fallacy
  
• Wikipedia > Probabilidade condicionada
  
• Probability Theory
• Omega Math > Basic Laws of Probability
• Dicionário de Filosofia de J. Ferrater Mora > Tomo II > Indirecto (p. 1487)
  
• Yahoo Answers > Can you divide by infinity?
• WikiBooks > High School Mathematics > Limits infinity get rid
• [4]
• OL > Educação > Lógica > Indução > Casos particulares se tornam lei geral
• OL > Educação > Matemática > Dedução indução > Noções elementares de lógica
  
• Ser professor universitário > Indução, dedução e lógica
• Blog Tecnologia e Educação > Indução e Dedução - Aplicação na Lógica dos Computadores
• Logosfera > Karl Popper e o princípio de indução
• Wikipedia > Raciocínio indutivo
  
• Wikipedia > Falseabilidade
• Scielo Brasil > História, Ciências, Saúde-Manguinhos > O paradigma da epistemologia histórica: a contribuição de Thomas Kuhn
• Crítica > Pensar e Agir — Manual de Filosofia, 10.º ano
• Crítica > Guia de falácias > Falácias indutivas