Lógica e anti-intelectualismo

¶1 Infelizmente em Portugal não se ensina Lógica em Matemática no ensino obrigatório nem no Secundário. Apenas no segundo ano de Filosofia, no 11º ano. Depois, academicamente, só na Universidade. Em Informática até aprende-se a uma linguagem de programação lógica, que é aplicada em Inteligência Artificial, para além das provas de decidibilidade com máquinas abstractas na Teoria da Computação - que permitiu a construção dos computadores modernos -, nas Base-de-Dados, nos fluxos condicionais e nos operações binárias. Esses conhecimentos permitiram a existência da Internet e das aplicações que estão a usar. Permitem as experiências e concursos na robótica. O computador Blue Deep que derrotou Kasparov num jogo de xadrez foi concebido por quem tem esses conhecimentos. A Lógica permite isso tudo, mas não é ensinada e promotores do anti-intelectualismo consideram que sabem melhor usá-la do que alguém que os que dependem dela no seus trabalhos e passatempos. Muitos deles são os mesmos que acham que sabem mais de Biologia do que um biólogo e mais Física do que um físico. Neste artigo apresento algumas noções básicas de lógica que são ensinadas em Introdução de Lógica e desafio-os a usarem um interpretador de PROLOG para testarem o que realmente sabem.

¶2 Os operadores lógicos são símbolos que ligam uma ou mais frases que podem ser verdadeiras ou falsas (proposições, predicados, fórmulas), de tal modo que o valor de verdade da composição dependa do valor de verdade das frases. O operador de negação (¬)  que dá um valor de verdade oposto ao da frase que liga: se é verdadeira, dá falso; se é falsa, dá verdadeiro. O operador de conjunção (∧) liga duas frases e a composição só é verdadeira se as duas frases forem verdadeiras. O operador de disjunção (∨) liga duas frases e a composição só é falsa se uma das frases for falsa.

¶3 Um circuito electrónico pode representar uma composição de frases lógicas - aliás, um conjunto de componentes cujos nomes são referências a operadores lógicos (NOT, AND, OR, etc) por implementarem operações lógicas. Devem ter um caminho de pólo de uma bateria até ao outro pólo (daí o nome "circuito") e por isso são representados por uma linha fechada, mas na imagem seguinte - para ser mais fácil de perceber - supõe-se que as linhas representam um cabo com dois sentidos, como as fichas comuns. Para ser mais intuitivo, imaginem que cada círculo vermelho é um adaptador para ligar-se a outra ficha, tomada ou um candeeiro. A tomada está ligada no adaptador mais à esquerda. Se o circuito for fechado, a lâmpada fica acesa. Se for aberto, fica desligada. Cada ficha representa uma frase e uma das extremidades pode estar virada como uma porta, representando uma frase falsa, caso contrário está ligada e representa uma frase verdadeira. Uma operação de negação é mudar o estado dessa extremidade: se está aberta, fecha; se está fechada, abre. Uma disjunção é representada por uma bifurcação (três adaptadores). Em fichas de dois adaptadores estão representadas conjunções.

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¶4 Em Lógica é irrelevante se uma frase é verdadeira ou falsa - supõe-se que não sabemos. O que interessa é a composição das frases por meio. Uma tabela de verdade permite avaliar todos os casos. Eis um exemplo para "¬(a ∧ b)" (V representa uma frase verdadeira; F representa uma frase falsa):

a	b	a ∧ b	¬(a ∧ b)
V	V	V	F
V	F	F	V
F	V	F	V
F	F	F	V

¶5 Chama-se "contradição" (⊥) a uma frase composta que é falsa independentemente dos valores de verdade das frases que compõe:

a	¬a	a ∧ ¬a
V	F	F
F	V	F

¶6 Aplicando a operação de negação a uma contradição, obtemos uma frase que é sempre verdadeira independentemente das frases que compõe - uma tautologia (⊤):

a	¬a	a ∧ ¬a	¬(a ∧ ¬a)	¬a ∨ a
V	F	F	V	V
F	V	F	V	V

¶7 Obtemos uma frase equivalente (ie: com os mesmos resultados) de uma negação de uma frase composta se negarmos todas as frases e passarmos os operadores de disjunção para conjunção e vice-versa, e retirando o operador de negação de toda a frase composta (leis de De Morgan). Por exemplo, "¬(a ∧ ¬b)" equivale a "¬a ∨ ¬¬b". Notem que a aplicação dupla do operador de negação numa frase equivale à própria frase. Por exemplo, se b é verdadeiro, então ¬b é falso e por isso ¬¬b é verdadeiro.

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¶8 Existem muitos outros operadores lógicos. Quando usamos o termo "disjunção" assumimos que se refere a uma disjunção inclusiva, se não houver uma indicação explícita do contrário. Uma disjunção exclusiva (⊕) é como a inclusiva mas é falsa se as frases que liga forem ambas verdadeiras; ou seja, "a ⊕ b" é equivalente a "(a ∨ b) ∧ ¬(a ∧ b)". Uma implicação (→) de uma frase em relação a outra significa que a primeira frase só é verdadeira se outra também o for. "a → b" (se a então b) equivale a "(a ∧ b) ∨ ¬a" (a e b ou não a). Uma equivalência (↔) entre duas frases significa que se uma forma verdadeira, a outra também é (tenho usado este conceito desde o parágrafo anterior). "a↔b" equivale a "(a ∧ b) ∨ (¬a ∨ ¬b)".

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¶9 Se usarmos variáveis podemos usar quantificadores lógicos para indicar o alcance do uso da variável: se nos referimos a todos (para todos) ou a pelo menos um (existe). O quantificador universal (∀) indica que o uso da variável na frase aplica-se a todos os casos. "∀x: humano(x) → mortal(x)" pode lido como: "para todo o x, se x é humano, então x é mortal" ou "todos os humanos são mortais". É como usar conjunções para todas as instâncias (casos) de uma variável: ( humano(x₁) → mortal(x₁) ) ∧ ( humano(x₂) → mortal(x₂) ) ∧ ( humano(x₃) → mortal(x₃) ) ... O quantificador existencial (∃) indica que existe uma instância da variável que torna uma frase verdadeira. "∃x: humano(x) ∧ mulher(x)" pode ser lido como: "existe um x de tal modo que x é humano e x é mulher" ou "existe pelo menos um humano que é mulher". É o mesmo que usar disjunções para todas as instâncias de uma variável: ( humano(x₁) ∧ mulher(x₁) ) ∧ ( humano(x₂) ∧ mulher(x₂) ) ∧ ( humano(x₃) ∧ mulher(x₃) ) ...

¶10 A negação de uma quantificação universal de uma frase é a quantificação existencial da negação dessa frase: "¬∀x: f(x) ↔ ∃x: ¬f(x)". A negação de uma quantificação existencial de uma frase é a quantificação universal da negação dessa frase: "¬∃x: f(x) ↔ ∀x: ¬f(x)". Por exemplo, "nem todas as bolas são azuis" equivale a "existe pelo menos uma bola que não é azul". "Não existe pelo menos uma bola vermelha" equivale a "todas as bolas não são vermelhas".

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¶11 A partir de várias frases separadas podemos obter uma frase nova. Por exemplo, se "a ∧ b" e "¬b" são verdadeiros, então "a" é verdadeiro (assumindo a Princípio do Terceiro Excluído - ou uma frase é verdadeira, ou é falsa; não há um terceiro valor). Em exames de Lógica pode ser necessário indicar os nomes das propriedades e dos princípios usados para se obter uma frase (a conclusão; ∴) a partir de outras (as premissas). Esse processo é uma demonstração lógica e no conjunto é um argumento.

• ∀x: humano(x) → mortal(x)
•  humano(Pedro)
•  ∴ mortal(Pedro)

• (∀x: humano(x) → mortal(x)) ↔ (∀x: (humano(x) ∧ mortal(x)) ∨ ¬humano(x))
•  ( humano(Pedro) ∧ mortal(Pedro) ) ∨ ¬humano(Pedro)
•  ⊥ humano(Pedro) ∧ ¬humano(Pedro)
•  ⊥ ( humano(Pedro) ∧ ¬mortal(Pedro) ) ∧ ( humano(Pedro) ∧ mortal(Pedro) )
•  ∴ humano(Pedro) ∧ mortal(Pedro)
•  ∴ mortal(Pedro)

¶12 Um argumento transmite a ideia de que se as premissas forem verdadeiras, a conclusão também é verdadeira. Se isso não for verdade, então o argumento é inválido (non sequitur: "não seguem"). Caso contrário, o argumento é válido, independentemente de as premissas ou a conclusão serem falsas. Na Lógica não se trata da verdade das premissas ou conclusões. O que interessa é que num argumento válido se as premissas forem verdadeiras, a conclusão é verdadeira. Se não forem verdadeiras, a conclusão pode ser falsa ou verdadeira. Mas se uma conclusão for uma contradição, prova-se que a conjunção de todas as premissas é falsa (reductio ad absurdum).

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¶13 Este artigo é grande, mas apenas explica um pouco do elementar da Introdução de Lógica para totós. No entanto há quem ache que saiba Lógica, mas não sabe sequer o que está aqui explicado. Argumenta deste modo: «BIOlogia estuda o quê? FISIOlogia estuda o quê? TEOlogia estuda o quê? Vês o teu erro?» (A CIENTOlogia estuda o quê? A ASTROlogia estuda o quê? A CRIPTOZOOlogia estuda o quê? A UFOlogia estuda o quê? A PARAPSICOlogia estuda o quê? A FRENOlogia estuda o quê?) E denigre a experiência e profissão com piadas, como "Dr. Mats, PhD (Cientista Consensual)" e comportando-se como se tivesse autoridade sobre assuntos que não tem experiência, dando lições a quem o tem (curiosidade: se se interessa tanto por Ciência, por que será que não prosseguiu os estudos em Ciência, especialmente em Biologia?) Isso é uma postura anti-intelectualista. Por isso demonstram que não têm interesse em perceber como se chega às conclusões. Por isso a literatura prosélita está cheia de figuras, é muito colorida e escrita como se fossem revistas infantis. A idiotice é mais fácil. Bem, o próximo artigo será sobre falácias.

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Duas páginas do livro "Lógica Matemática - Teorias e exercícios; 10º ano de escolaridade" (1980, edições ASA):

Duas páginas de "Matemática - uma breve introdução" (Timothy Gowers, 2008, gradiva) do capítulo 3 ("Demonstrações"):

 Duas páginas de "Ah, Descobri! - Jogos e diversões matemáticas" (Martin Gardner, 1978, gradiva) do capítulo 4 ("Ah! Lógico"):

Duas páginas de "The Art of Prolog - Advanced Programming Techniques" (1994, MIT) do capítulo 5 ("The Theory of Logic Programming"):